第264章 课后习题（1/2）

肖宿想了几秒，在白板上写下了一个速率泛函I(f)，又在旁边写了一个变分条件。

“速率泛函的形式确实依赖于测度的选取，但是物理上关心的却不是速率泛函本身，而是它在鞍点附近的二阶变分。

而二阶变分和测度无关。”

他在变分条件旁边画了一个等号，“只要巴拿赫空间满足稳定的嵌入性质，鞍点处的Hessian算子在所有等价测度下都有相同的谱。

而从物理规律上就能判定，鞍点附近的涨落谱是唯一确定的。

测度的自由度只影响远离鞍点的尾部分布，不影响鞍点附近的主导贡献。”

彭远征盯着那行变分条件，慢慢点了点头：

“如果二阶变分是测度无关的，那大偏差的速率泛函本身虽然不同，但它们在鞍点附近的局部展开是一样的？

这个性质在有限维鞍点近似里是平凡的，但在无穷维巴拿赫空间里应该需要额外的条件，稳定的嵌入性质够不够？”

“不够，还得满足Hessian算子是迹类的。”

肖宿在变分条件l行列式收敛，这个收敛性在所有等价测度下保持一致，物理上对应鞍点附近涨落的归一化因子是唯一的。”

彭远征看完，眉头彻底舒展开开来，心里的疙瘩一下就没了。

Radon-Nikody性质选测度，迹类条件锁二阶变分，稳定的嵌入性质保证谱的唯一性，这三条逻辑已经把他之前推导中那个模棱两可的测度依赖空间彻底填平了。

他往后靠了靠，椅背发出一声轻响，嘴唇动了动，没说话，但旁边的李伟亮看见他已经在笔记本上快速写起了什么。

他正要和彭远征说些什么，另一边的赵维仁又开口了。

“肖教授，我叫赵维仁，是做高能理论物理的。

上次你和高能所合作的那篇论文，用张量范畴给拓扑相保护机制建模，那个思路我看完以后一直在琢磨着怎么推广到强关联电子系统上。

铜氧化物超导体里的赝能隙相，它的拓扑序至今没有完整的数学描述，我们实验室对这个有些想法。

不过听您刚才和彭老师讨论的鞍点估计，我想到一个相关的难点。”

赵维仁站起身来走到白板前，在肖宿写的迹类条件旁边虚虚地点了一下：

“赝能隙相的低能有效理论里，配分函数的鞍点结构正好是无穷维的。

如果把配分函数放在巴拿赫空间里做鞍点展开，那迹类条件是否直接约束了低能激发谱的拓扑结构？

换句话说，是不是只有满足迹类条件的那些低能模式，才能对拓扑序产生贡献？”

这个问题一出来，彭远征先抬起了头，鞠知行也放下了手里的笔。

赵维仁不是在重复刚才的讨论，他是把巴拿赫鞍点估计和张量范畴两个看似不相关的工具给串起来了。

众人齐刷刷盯着肖宿，都好奇他到底会怎么回答。

“可以对接。”

肖宿几乎没怎么思考，他在白板上画了两个圈，一个标着巴拿赫鞍点展开，一个标着张量范畴，然后画了一条连线。

“赝能隙相的配分函数做巴拿赫鞍点展开之后，鞍点附近的涨落模按照Hessian算子的谱分成两组：迹类模对应拓扑序的低能激发，非迹类模对应对称破缺序的高能涨落。

张量范畴描述的那部分任意子激发，恰好就是迹类模在范畴论层面的表示。”

鞠知行忍不住开口道：

“肖教授，如果迹类模和张量范畴的任意子是一一对应的，那非迹类模在范畴论里怎么表示？余弦范畴？”

“对，非迹类模的超选择扇区构成一个余弦范畴，它的融合规则和迹类模的张量范畴完全不同，两者之间用一个二范畴的函子连接，这个函子的自然变换就描述了拓扑序和对称破缺序之间的耦合。”

肖宿说着，在白板上又加了两条线，把两个圈和一个新写上去的二范畴函子连在一起。

赵维仁站在白板前面，目光从张量范畴扫到迹类条件，又从迹类条件扫到二范畴函子。

他之前做那个铜氧化物模型的时候，一直把拓扑序和对称破缺序分开来算，算完之后再把结果拼在一起，但是结果总是有交叉项对不拢。

他一直没找到原因，现在终于懂了，原来这两个序不是拼在一起的，它们是同一个二范畴结构的两个不同扇区，交叉项本身就是函子的自然变换。

“所以赝能隙相里那个奇怪的线性电阻率尾巴，”赵维仁的声音有些发干，“它其实是二范畴函子的自然变换在输运系数上的投影？”

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