第263章 思路是通用的（2/2）

在量子场论里，我们做路径积分的时候也经常用到鞍点近似，这跟你处理圆法积分的思路在精神上是有相通之处的。

但有一个地方我琢磨了很久，你在构造最速下降路径的时候，积分空间是有限维的。

而量子场论的路径积分是在无穷维空间上做的，我想请教一下，当积分空间变成无穷维的时候，最速下降路径还能定义吗？

换句话说，你那个方法能不能推广到泛函积分上呢？”

肖宿把记号笔从左手换到右手：“泛函鞍点的定义本身是成立的，问题在于沿最速下降方向的积分测度。

有限维情形下测度是勒贝格测度，沿最速下降方向的积分可控。

无穷维情形下测度不再是勒贝格测度，需要用到抽象维纳空间的理论。

我在论文附录里没有展开写，但思路是通用的。”

他在白板上写下了一行简洁的公式，接着说：

“需要修改的地方只有一处，那就是把积分空间的希尔伯特结构换成巴拿赫结构，最速下降方向用Gateaux导数来定义。

只要巴拿赫空间满足Radon-Nikody性质，鞍点估计的精度不会退化。”

巴拿赫结构、Gateaux导数、Radon-Nikody性质……

每一个都精准地踩在他之前推导时反复卡壳的地方。

希尔伯特换成巴拿赫……

彭远征当然知道路径积分的无穷维空间不是希尔伯特空间，但知道归知道，真到动手算的时候他还是会习惯性地把有限维的鞍点估计往里套，然后被发散项卡得死死的。

现在他忽然意识到，不是鞍点方法不对，而是他用的空间结构不对。

如果换到巴拿赫空间，测度的变换群变大了，Radon-Nikody性质一成立，就可以构造一个和积分核自动匹配的等价测度了。

那个一直对不拢的因子，差的不是别的，就是一个合适的测度变换。

他重新抬起头来，“肖教授，我还有一个问题。”

彭远征的语气比刚才更沉了一些，显然是在脑子里快速推了一遍才开口的。

“在巴拿赫空间里做鞍点估计，测度的选择就有了自由度，这是它的优点。

但自由度本身也带来了新的问题，比如不同的等价测度给出的大偏差函数是不等价的。

在有限维情形下，大偏差原理是唯一的，但在无穷维巴拿赫空间里，测度的不同选择会导致不同的速率泛函。

这会不会影响鞍点估计的物理预言能力？

像这种情况要怎么判断选哪个测度才是对的呢？”

听到这个问题，后排的鞠知行不禁坐直了身子。

这个问题问得极好，大偏差原理在无穷维空间里的不唯一性，在数学物理领域也一直没讨论清楚。

如果测度的选择会影响物理预言，那这个框架就不能用来做定量计算了。